吊篮监理工程师在签署意见时，应当遵循以下步骤和原则：

检查吊篮的安装、使用和维护情况

监理人员需要仔细检查吊篮的安装过程是否符合相关标准和要求，使用过程中是否安全可靠，以及维护是否得当。对于存在的问题和不足，应提出具体的建议和意见。

确保符合国家和地方相关标准

在监理意见中应明确指出吊篮是否符合国家相关标准和要求，是否安全可靠，是否适用于当前工程需求。监理人员应当保持客观、公正、负责的态度，根据实际情况提出具体的意见和建议，以保障工程质量和安全。

审核施工方案

如果吊篮是作为施工方案的一部分，监理工程师需要对其进行全面细致的审查，确保方案内容完整、方法合理、具有针对性和可操作性，同时检查质量、安全等方面的保证措施是否齐全。根据审查结果，签署同意或不同意意见，并提出修改补充意见。

监督和检查施工现场

监理工程师需要对施工现场进行监督和检查，发现问题及时提出意见，并在问题解决后签署同意。这包括建设方案、施工现场、施工质量、安全问题和环境保护等方面。

明确审核结果

在签署意见时，要明确表示审核结果，并签署审核人员的名字和职务。如果吊篮未经验收或验收不合格，则不得使用。

提出改进建议

在审核过程中发现问题或存在可优化改进之处时，给出监理建议和意见，促进施工单位改正和提升施工质量。

综上所述，吊篮监理工程师在签署意见时，应全面细致地检查吊篮的安装和使用情况，确保其符合相关标准和要求，并根据实际情况提出具体的意见和建议，以保障工程质量和安全。