费马大定理也称费马最后定理（Le dernier théorème de Fermat），乃下述定理：

当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程:

x + y = z.的整数解都是平凡解，即:

当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)

当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)

这个定理，本来又称费马猜想﹝Fermat's conjecture﹞，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出。费马在一本书的空位里写，他已找到一个绝妙证明，但书边没有足够的空位写下。但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）和他的学生理查·泰勒（Richard Taylor）于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯由于成功证明此定理，获得了2005年度邵逸夫奖的数学奖。

费马大定理的历史

1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下(拉丁文原文: "Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.")毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。

对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。

1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万德国马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的「证明」。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。

1983年，Gerd Faltings证明了Mordell猜测（Faltings' theorem），从而得出当n >

2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a + b = c。

1986年，Gerhard Frey 提出了“ε-猜想（Epsilon conjecture）”：若存在a,b,c使得a+b=c，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线:

y + y = z 没有xyz≠0的整数解。为了证明这个结果，只需证明方程x + y = z ，(x,y) = (x,z) = (y,z) = 1(p是一个奇素数)均无xyz≠0的整数解。

n=4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。费马本人证明了p=3的情，但证明不完全。勒让德(1823)和狄利克雷(1825)证明了p=5的情形。1839年，拉梅证明了p=7的情形。1847年，德国数学家库默尔对费马猜想作出了突破性的工作。他创立了理想数论，这使得他证明了当p<100时，除了p=37，59，67这三个数以外，费马猜想都成立。后来他又进行深入研究，证明了对于上述三个数费马猜想也成立。在近代数学家中，范迪维尔对费马猜想作出重要贡献。他从本世纪20年代开始研究费马猜想，首先发现并改正了库默尔证明中的缺陷。在以后的30余年内，他进行了大量的工作，得到了使费马猜想成立一些充分条件。他和另外两位数学家共同证明了当p<4002时费马猜想成立。

现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想，使p 的数目有很大的推进。到1977年为止，瓦格斯塔夫证明了p<125000时，费马猜想成立。《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导，费马猜想近年来取得了惊人的研究成果：格朗维尔和希思—布龙证明了「对几乎所有的指数，费马大定理成立」。即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数，则证明中用到了法尔廷斯(Faltings)的结果。另外一个重要结果是：费马猜想若有反例，即存在x>0，y>0，z>0，n>2，使x + y = z ，则x > 101800000.