办理留学申请的部门主要涉及教育部及其下属机构，具体如下：

一、教育部直属机构

教育部留学服务中心（中国留学服务中心）

负责出国留学、留学回国、来华留学及教育国际交流与合作服务，涵盖院校申请、学历认证、奖学金申请、签证办理等全流程。

国家留学基金管理委员会

直属教育部非营利性机构，负责国家公派留学项目的组织、资助和管理，包括奖学金评选、公派留学名额分配等。

二、地方分支机构

上海地区示例 ：

澳大利亚留学服务中心（ASC） ：提供院校申请、签证办理、奖学金申请等专业服务，是上海知名留学机构。 - 澳大利亚教育联盟（AEU） ：与多所澳校合作，协助学生申请。 - 澳洲留学服务中心（OZ Study Center） ：专注澳洲留学服务，含全流程指导。

三、其他相关机构

工商部门 ：留学机构需在工商部门注册，但具体留学服务需通过教育部下属机构办理。- 地方教育部门 ：部分城市设有教育国际交流中心，辅助处理本地学生留学事务。

总结

办理留学申请的核心部门是教育部留学服务中心和国家留学基金管理委员会，而具体院校申请、签证等事务则通过下属机构或合作机构完成。建议根据目标国家选择专业机构，并通过教育部官网确认最新政策。