惩办:punish;

例句：政府最近严厉惩办贪官污吏。

惩罚:penalize;

例句：他为了惩罚自己，中午连饭都不吃了。 

惩办:对犯罪行为和罪人进行惩罚处理;

惩罚:严厉地处罚;两者的意思差不多，但是惩办的对象是犯法的人，坏人；而惩罚的对象可以是罪人，也可以是违反规定和纪律的人；惩办的手段必定要抓进监狱，惩罚的手段主要是罚款，罚做体力劳动、关禁闭，遭到谴责等。