充分性：

已知acos²(C/2)+ccos²(A/2)=(3/2)b

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

由正弦定理得b=acosC+ccosA

a[(1+cosC)/2]+c[(1+cosA)/2]=(3/2)b

a+acosC+c+ccosA=3b

a+c+acosC+ccosA=3b

a+c+b=3b

a+c=2b

a，b，c成等差数列

必要性：

已知a，b，c成等差数列，即a+c=2b

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

由正弦定理得b=acosC+ccosA

a+b+c=3b

a+c+acosC+ccosA=3b

a(1+cosC)+c(1+cosA)=3b

2a·cos²(C/2)+2c·cos²(A/2)=3b

acos²(C/2)+ccos²(A/2)=(3/2)b

综上，得a，b，c成等差数列的充要条件是acos²(C/2)+ccos²(A/2)=(3/2)b：充分性： 已知acos²(C/2)+ccos²(A/2)=(3/2)b sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC 由正弦定理得b=acosC+ccosA a[(1+cosC)/2...