数列收敛是指一个数列的值在某个方向上趋近于一个常数或有限值，而不是无限增大或无限减小。换句话说，数列收敛意味着存在一个极限值，当项数趋向无穷大时，数列的值趋近于这个极限值。

一个数列收敛的充分必要条件是：存在一个实数 L（称为极限），对于任意正整数 n，都有 |a_n - L| < ε（其中 ε >

0 是任意的）。

例如，等差数列和等比数列都是收敛的，因为它们的项可以收敛到一个有限值。有些数列可能是不收敛的，例如，无穷等差数列（没有固定公差的等差数列）或者无穷等比数列（没有固定公比的等比数列）。

什么是收敛数列？

收敛数列是指：设数列{Xn}，如果存在常数a，那么对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称为数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

收敛数列与其子数列间的关系为：子数列也是收敛数列且极限为a恒有Xn|<M若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

收敛数列的推论为：

无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。如果数列｛Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。

第一个其实就是正项的等比数列的和，公比小于1，是收敛的。

第二个项的极限是∞，必然不收敛。

简单的说

有极限（极限不为无穷）就是收敛，没有极限（极限为无穷）就是发散。

例如：f（x）=1/x 当x趋于无穷是极限为0，所以收敛。

f（x）= x 当x趋于无穷是极限为无穷，即没有极限，所以发散。

收敛数列与其子数列间的关系

子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M

若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

如果数列{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

发散级数指不收敛的级数。一个数项级数如果不收敛，就称为发散，此级数称为发散级数。一个函数项级数如果在（各项的定义域内）某点不收敛，就称在此点发散，此点称为该级数的发散点。按照通常级数收敛与发散的定义，发散级数是没有意义的。

然而为了实际的需要，可以确立一些法则，对某些发散级数求它们的“和”，或者说某个发散级数在特定的极限过程中，逐渐逼近某个数。但是在实际的数学研究以及物理等其它学科的应用中，常常需要对发散级数进行运算，于是数学家们就给发散级数定义了各种不同的“和”，比如Cesàro和，Abel和，Euler和等，使得对收敛级数求得的这些和仍然不变，而对某些发散级数，这种和仍然存在。