初等数论学完后，可以选择的专业主要有以下几种：

数学与应用数学专业

这是最直接涉及初等数论的专业，学生将学习数论以及其他数学分支，如高等代数、数学分析、常微分方程、泛函分析、实变函数、复变函数、拓扑学、群论、微分几何等。这个专业培养学生掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，并受到科学研究的初步训练。

数理基础科学专业

这个专业主要培养能够从事数学和物理等基础科学教学和科研的有发展潜力的优秀人才，特别强调在数学和物理上的创新能力。专业课程包括数学分析续论、高等代数、复变函数论、常微分方程、初等数论、近世代数、中学数学方法论等。

数学教育专业

这个专业培养掌握数学教育的基本理论、基本知识和基本技能，具有初步数学教学研究能力和应用能力的中小学数学教师。专业课程包括数学分析续论、高等代数、复变函数论、常微分方程、初等数论、近世代数、中学数学方法论等。

应用数学专业

这个专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。专业课程包括数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程、初等数论等。

信息与计算科学专业

这个专业涉及计算机科学和数学的基础理论，数论在算法设计、密码学等方面有重要应用。

计算机科学与技术专业

随着信息科学的发展，数论在计算机科学中的应用也越来越广泛，特别是在算法设计、密码学和计算机代数等方面。

软件工程专业

在软件开发和系统安全方面，数论的应用也较为常见，特别是在密码学和信息安全领域。

建议

如果你对数论有浓厚兴趣，并且希望在未来从事数学研究或教学工作， 数学与应用数学专业和 数理基础科学专业都是不错的选择。

如果你希望将数学知识应用于实际问题的解决，特别是在科技、经济或金融领域， 应用数学专业可能更适合你。

如果你对计算机科学中的算法设计和密码学感兴趣， 信息与计算科学专业和 计算机科学与技术专业也是很好的选择。