清末时期，中国的高等教育体系开始逐渐形成。根据可靠的历史资料，我们可以确定以下几所大学是在清末时期创办的：

京师大学堂（北京大学前身），成立于1898年。

北洋大学堂（天津大学前身），成立于1895年。

山西大学堂，成立于1902年。

清华学堂（清华大学前身），成立于1911年。

四川高等学堂（四川大学前身），成立于1902年。

上海交通大学，其前身是创建于1896年的南洋公学。

武汉大学，可以追溯到1893年湖广总督张之洞请清政府创办的自强学堂。

天津大学。

浙江大学。

岭南大学，前身为格致书院，创办于1888年。

此外，还有一些其他的重要学府，如北洋水师学堂、武备学堂和水雷学堂等洋务运动后清政府建立的学堂。

综合以上信息，清末时期中国的高等教育机构至少包括10所公立大学和若干所教会大学。因此，清末国家开办的大学数量至少为 10所公立大学加上教会大学的数量，具体数量不详。