博士阶段学习数学，可以选择以下专业方向：

基础数学：

专注于数学本身的内部规律，适合对理论研究有兴趣的学生。包括代数、几何、拓扑等经典数学领域，以及数论、代数几何、微分几何等更专业的方向。

计算数学：

结合数学、计算机科学、物理学等学科，研究算法和数值计算，对算法设计有浓厚兴趣的学生可以选择。包括数值分析、数值代数、优化算法等。

应用数学：

利用数学方法解决实际问题，与经济金融、工程科技等领域紧密相关，适合希望将数学知识应用于实际问题的学生。包括运筹学、控制论、图论等。

概率与统计：

研究随机现象的概率预测和统计推断，应用于金融、保险、工程等领域。

数学物理：

结合物理学和数学理论解决自然现象问题，涉及广义相对论、量子力学等。

数学逻辑：

研究推理、证明和形式系统，是数学基础理论的重要组成部分。

数论与编码：

研究整数、密码学和编码理论，应用于信息安全等领域。

控制论与优化：

研究最优控制、最优化和机器学习，应用于工程、经济、管理等领域。

统计学：

研究随机现象的收集、分析、解释和预测，包括概率论、数理统计、应用统计等。

应用统计（大数据方向）：

利用数学和统计方法分析大数据，应用于数据挖掘、机器学习等领域。

其他方向：

如拓扑学、统计数理、数论专业、分析学、最优化专业、泛函分析专业、数值计算、微分几何专业等。

选择专业方向时，建议考虑个人的兴趣、职业规划和研究背景，以便找到最适合自己的研究方向。