求高三数学中的极小值，通常需要遵循以下步骤：

求导数

首先，你需要求出给定函数的一阶导数。导数可以帮助你了解函数的变化趋势。

求导数为零的点

解方程 $f'（x） = 0$，找到所有可能的极值点（临界点）。这些点是函数可能取得极值的候选点。

判断极值点的性质

一阶导数检验法：

如果在临界点 $x_0$ 附近的左侧，$f'（x） >

0$，而在右侧 $f'（x） < 0$，那么 $f（x_0）$ 是函数的极大值点。

如果在临界点 $x_0$ 附近的左侧，$f'（x） < 0$，而在右侧 $f'（x） >

0$，那么 $f（x_0）$ 是函数的极小值点。

二阶导数检验法（可选）：

计算二阶导数 $f''（x）$。

如果 $f''（x_0） >

0$，则 $x_0$ 是极小值点。

如果 $f''（x_0） < 0$，则 $x_0$ 是极大值点。

边界点

不要忘记检查定义域的边界点，因为极值也可能出现在边界上。

验证

将找到的极值点代入原函数，验证这些点是否真的是极值点。

总结

确定找到的极值是局部极值还是全局极值。

示例

假设你有一个函数 $f（x） = x^3 - 3x^2 + 2x$，我们来求它的极小值。

求导数

$$

f'(x) = 3x^2 - 6x + 2

$$

求导数为零的点

解方程 $3x^2 - 6x + 2 = 0$。使用求根公式：

$$

x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = frac{6 pm sqrt{36 - 24}}{6} = frac{6 pm sqrt{12}}{6} = 1 pm frac{sqrt{3}}{3}

$$

判断极值点的性质

在 $x = 1 + frac{sqrt{3}}{3}$ 附近，$f'（x） >

0$，所以这是一个极小值点。

在 $x = 1 - frac{sqrt{3}}{3}$ 附近，$f'（x） < 0$，所以这是一个极大值点。

边界点

由于函数在 $（-infty, +infty）$ 上连续且可导，没有边界点需要检查。

验证

将 $x = 1 + frac{sqrt{3}}{3}$ 代入原函数，验证其值是否为极小值。

总结

$x = 1 + frac{sqrt{3}}{3}$ 是函数的极小值点。

通过以上步骤，你可以求出函数 $f（x） = x^3 - 3x^2 + 2x$ 的极小值。