以下是一些2024年高考数学考前热身题：

三棱锥中的线面角问题

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA perp$ 平面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 是菱形，$PA = AB = 2$，$angle BAD = 60^circ$。

（Ⅰ） 求证：直线 $BD perp$ 平面 $PAC$；

（Ⅱ） 求直线 $PB$ 与平面 $PAD$ 所成角的正切值；

（Ⅲ） 设点 $M$ 在线段 $PC$ 上，且二面角 $C-MB-A$ 的余弦值为 $0.57$，求点 $M$ 到底面 $ABCD$ 的距离。

长方体中的体积与线面角问题

如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，已知 $AB = BC = 2$，$AA_1 = 3$。

（1） 若 $P$ 是棱 $A_1D_1$ 上的动点，求三棱锥 $C-PAD$ 的体积；

（2） 求直线 $AB_1$ 与平面 $ACC_1A_1$ 的夹角大小。

梯形中的平面与二面角问题

如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AB parallel CD$，$angle D = 60^circ$，$CD = 2AB = 2BC = 2AD = 4$，$E$ 为 $CD$ 的中点，$F$ 为 $AE$ 的中点，沿 $AE$ 将三角形 $ADE$ 折起。

（1） 证明：在折起过程中，平面 $BDF perp$ 平面 $BCD$；

（2） 当折起到平面 $ADE perp$ 平面 $ABC$ 时，求二面角 $A-CD-E$ 的余弦值。

直三棱柱中的线面平行与二面角问题

如图，已知直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AC perp AB$，$AB = AA_1 = AC$，$D$ 是棱 $AB$ 的中点，$E$ 是棱 $CC_1$ 的中点。

（Ⅰ） 求证：$CD parallel$ 平面 $AEB_1$；

（Ⅱ） 求二面角 $A-EB_1-B$ 的余弦值。

四棱柱中的线面垂直与二面角问题

如图，在四棱柱 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是菱形，$angle ABC = 60^circ$，$PA perp$ 平面 $ABCD$，$E$ 为 $PD$ 的中点。

（1） 证明：$BD perp PC$；

（2） 若 $PC$ 与平面 $ABCD$ 所成角为 $theta$，且 $tan theta = 0.57$，求二面角 $P-AC-E$ 的大小。

这些题目涵盖了空间几何中的线面角、体积计算、平面平行与垂直、二面角等常见题型，适合用于高考数学前的热身训练。