求极值点的基本步骤如下：

求导数

对于一元函数，求其一阶导数 $f'（x）$。

对于多元函数，求其一阶偏导数 $f_x（x, y）$ 和 $f_y（x, y）$。

找驻点

解方程 $f'（x） = 0$ 或 $f_x（x, y） = 0$ 和 $f_y（x, y） = 0$，找出所有可能的极值点（驻点）。

判断极值点

使用二阶导数测试法来判断驻点是否为极值点，并确定极值的类型（极大值或极小值）。

如果二阶导数 $f''（x） >

0$，则该点为极小值点。

如果二阶导数 $f''（x） < 0$，则该点为极大值点。

如果二阶导数 $f''（x） = 0$，则该点可能是函数的拐点，需要进一步分析。

检查分段函数的极值

如果函数是分段函数，需要检查每个分段上的极值点和极值。

考虑边界点

如果函数定义在有界闭区域上，还需要检查边界点上的函数值，因为最大值和最小值可能出现在边界上。

实例解析

以一元函数为例，求函数 $f（x） = x^3 - 3x^2 + 4$ 的极大值和极小值：

求导数

$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$

找驻点

$$f'(x) = 0 implies 3x^2 - 6x = 0 implies x(x - 2) = 0 implies x = 0 text{ 或 } x = 2$$

判断极值点

当 $x = 0$ 时，二阶导数 $f''（x） = 6 >

0$，故 $x = 0$ 为极小值点。

当 $x = 2$ 时，二阶导数 $f''（x） = -6 < 0$，故 $x = 2$ 为极大值点。

求极值

$$f(0) = 4, quad f(2) = 0$$

因此，函数 $f（x） = x^3 - 3x^2 + 4$ 的极大值为 0，极小值为 4。

通过以上步骤，可以系统地求出函数的极值点。