大学函数老师的专业背景主要包括以下几类：

数学与应用数学专业：

这是最直接与函数教学相关的专业，涵盖了基础数学和应用数学两方面。基础数学研究数学的基本理论和发展规律，而应用数学则侧重于解决实际问题和科学技术中的问题。该专业的核心课程包括分析基础、高等代数、几何学、常微分方程、实变函数、概率论、科学计算、抽象代数、微分几何、复变函数和泛函分析等。

数理统计学专业：

该专业侧重于数学统计的应用和分析，涉及概率论与数理统计等核心内容，这些内容在函数教学中也有重要应用。

计算数学专业：

研究数学问题的计算方法，虽然与函数教学不直接相关，但其研究方法和工具对函数教学有辅助作用。

复变函数专业：

专门研究复变函数及其在多个领域的应用，该课程在数学专业中占有重要地位，也是函数教学的一部分。

实变函数专业：

研究实变函数及其在勒贝格测度论和积分论中的应用，同样属于数学专业的核心课程之一。

师范类专业：

如数学与应用数学专业，适合希望成为数学教师的学生。这些专业通常提供数学教育方面的课程和培训。

其他理工科专业：

如土木工程、机械工程、电子工程等，这些专业在高等数学课程中会涉及复变函数等数学工具，因此相关专业的教师也可能具备函数教学的能力。

综上所述，大学函数老师的专业背景主要是数学类专业，包括数学与应用数学、数理统计学、计算数学、复变函数和实变函数等。此外，师范类专业的数学教师也是函数教学的重要力量。