高中数学竞赛中需要掌握的定理包括但不限于以下几种：

三角函数的基本关系

正弦定理：$frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C}=2R$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形$ABC$的三边长度，$A$、$B$、$C$为对应的内角，$R$为三角形$ABC$的外接圆半径。

余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bccos A$，$b^2=a^2+c^2-2accos B$，$c^2=a^2+b^2-2abcos C$。

正弦函数和余弦函数的关系：$sin（a pm b）=sin a cos b pm cos a sin b$，$cos（a pm b）=cos a cos b mp sin a sin b$。

相似三角形的性质

相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

集合运算的分配律与反演律（摩根律） 、 容斥原理、 有限等集的性质。

直线与方程

克莱姆法则。

二维对称点坐标公式。

二维投影点坐标公式。

直线的参数方程。

交轨法。

定比分点公式。

圆锥曲线

阿波罗尼斯圆。

圆的直径式方程。

曲线系。

圆幂定理。

调和点列。

椭圆和双曲线的第二定义。

各种切割线方程。

特殊类型的双曲线。

抛物线的各种几何性质。

阿基米德三角形。

齐次化方法。

双根式。

仿射变换。

隐函数。

蒙日圆。

等角定理。

二次锥面形成圆锥曲线的过程。

极点与极线。

平面几何中的几个重要定理

梅涅劳斯定理及其逆定理。

塞瓦定理及其逆定理。

托勒密定理。

西姆松定理。

三角形旁心、费马点、欧拉线。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根，多项式的插值公式。

$n$次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，求$n$次迭代，简单的函数方程。

数论

同余。

欧几里得除法。

裴蜀定理。

完全剩余系。

不定方程和方程组。

高斯函数$[x]$。

费马小定理。

格点及其性质。

无穷递降法。

欧拉定理。

孙子定理。

这些定理和公式是高中数学竞赛中常见且重要的内容，掌握这些定理有助于提高解题能力和竞赛成绩。建议同学们认真学习和理解这些定理，并通过大量的练习来巩固所学知识。