求等比数列的和，可以使用以下公式：

[ S_n = frac{a_1 （1 - q^n）}{1 - q} ]

其中：

（ S_n ） 表示前 （ n ） 项的和，

（ a_1 ） 是首项，

（ q ） 是公比，且 （ q

eq 1 ）。

这个公式适用于所有等比数列，包括公比 （ q ） 为正数、负数或复数的情况。当 （ q = 1 ） 时，数列变为等差数列，求和公式为 （ S_n = n times a_1 ）。

推导过程如下：

1. 设等比数列的前 （ n ） 项和为 （ S_n ）：

[ S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + cdots + a_1 q^{n-1} ]

2. 将上式两边同时乘以公比 （ q ）：

[ q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + cdots + a_1 q^n ]

3. 将原式减去乘以公比后的式子：

[ S_n - q S_n = a_1 - a_1 q^n ]

[ （1 - q） S_n = a_1 （1 - q^n） ]

4. 解出 （ S_n ）：

[ S_n = frac{a_1 （1 - q^n）}{1 - q} ]

这个公式在数学、物理学、化学、生物学等自然科学中有广泛应用。