证明函数的单调性通常有以下几种方法：

定义法

任取两个点 $（x_1, x_2）$ 属于函数的定义域，且 $x_1 < x_2$。

计算 $f（x_1） - f（x_2）$。

对结果进行变形处理，如配方、因式分解等。

判断差值的符号，若为正则函数单调递增，若为负则函数单调递减。

导数法

如果函数在某区间内可导，计算其导数 $f'（x）$。

判断导数在该区间内的符号，若恒大于0则函数单调递增，若恒小于0则函数单调递减。

复合函数法

对于复合函数 $y = f[g（x）]$，其单调性由内外函数的单调性共同决定。

如果内外函数单调性相同（同为增或同为减），则复合函数单调递增。

如果内外函数单调性不同（一增一减），则复合函数单调递减。

数形结合法

利用函数图像观察函数的增减性。

对于分段函数，要特别注意其在整个定义域上的单调性。

构造基本初等函数法

利用已知单调性的基本初等函数进行构造和比较。

建议

在证明函数单调性时，确保遵循正确的步骤，并根据函数的具体形式选择合适的方法。

定义法是基础，导数法适用于可导函数，复合函数法和数形结合法则适用于更复杂的函数形式。

对于具体问题，可以先尝试使用定义法，如果困难，再考虑使用导数法或其他高级方法。