反三角函数的导数可以通过以下步骤求得：

设定函数关系

设 $y = arcsin（x）$，则 $x = sin（y）$。

对 $x = sin（y）$ 两边关于 $x$ 求导，得到 $frac{dx}{dy} = cos（y）$。

利用换元法

由于 $y = arcsin（x）$，则 $sin（y） = x$，且 $y$ 的取值范围是 $[- frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$。

在这个区间内，$cos（y） geq 0$，所以 $cos（y） = sqrt{1 - sin^2（y）} = sqrt{1 - x^2}$。

求导

根据 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$，我们有 $frac{dy}{dx} = frac{1}{cos（y）} = frac{1}{sqrt{1 - x^2}}$。

因此，反正弦函数 $arcsin（x）$ 的导数为 $frac{1}{sqrt{1 - x^2}}$。

同理，可以求得其他反三角函数的导数：

反余弦函数 （arccos）：

设 $y = arccos（x）$，则 $x = cos（y）$。

对 $x = cos（y）$ 两边关于 $x$ 求导，得到 $frac{dx}{dy} = -sin（y）$。

由于 $y$ 的取值范围是 $[0, pi]$，在这个区间内，$sin（y） geq 0$，所以 $sin（y） = sqrt{1 - cos^2（y）} = sqrt{1 - x^2}$。

因此，$frac{dy}{dx} = -frac{1}{sqrt{1 - x^2}}$。

反正切函数 （arctan）：

设 $y = arctan（x）$，则 $x = tan（y）$。

对 $x = tan（y）$ 两边关于 $x$ 求导，得到 $frac{dx}{dy} = sec^2（y） = 1 + tan^2（y） = 1 + x^2$。

因此，$frac{dy}{dx} = frac{1}{1 + x^2}$。

反余切函数 （arccot）：

设 $y = arccot（x）$，则 $x = cot（y）$。

对 $x = cot（y）$ 两边关于 $x$ 求导，得到 $frac{dx}{dy} = -csc^2（y） = -（1 + cot^2（y）） = -（1 + x^2）$。

因此，$frac{dy}{dx} = -frac{1}{1 + x^2}$。

综上所述，反三角函数的导数公式为：

$frac{d}{dx}（arcsin（x）） = frac{1}{sqrt{1 - x^2}}$

$frac{d}{dx}（arccos（x）） = -frac{1}{sqrt{1 - x^2}}$

$frac{d}{dx}（arctan（x）） = frac{1}{1 + x^2}$

$frac{d}{dx}（arccot（x）） = -frac{1}{1 + x^2}$