要鉴别$Cu^{2+}$和$NH_{4}^{+}$离子，可以通过以下几种方法：

颜色反应

$Cu^{2+}$离子在水溶液中呈现蓝色。可以通过向待测溶液中加入适当的试剂（如氨水或氢氧化钠）来观察颜色变化，从而判断是否存在$Cu^{2+}$离子。

$NH_{4}^{+}$离子本身无色，但可以通过加入碱（如氢氧化钠）使其转化为氨气（$NH_{3}$），产生明显的气味，从而间接证明$NH_{4}^{+}$离子的存在。

沉淀反应

$Cu^{2+}$离子与碱（如氢氧化钠）反应会生成蓝色的沉淀物$Cu（OH）_{2}$。可以通过向待测溶液中加入碱并观察沉淀颜色来鉴别$Cu^{2+}$离子。

$NH_{4}^{+}$离子与碱（如氢氧化钠）反应会生成氨气（$NH_{3}$）和水，没有明显的沉淀生成，但可以通过气味和溶液pH值的变化来间接判断$NH_{4}^{+}$离子的存在。

离子方程式

$Cu^{2+}$离子和$NH_{4}^{+}$离子在离子方程式中的表现不同。例如，$Cu^{2+}$离子可以与氯离子（$Cl^{-}$）反应生成氯化铜（$CuCl_{2}$），离子方程式为：

$$

Cu^{2+} + 2Cl^{-} rightarrow CuCl_{2}

$$

$NH_{4}^{+}$离子可以与氢氧根离子（$OH^{-}$）反应生成氨水（$NH_{3} cdot H_{2}O$），离子方程式为：

$$

NH_{4}^{+} + OH^{-} rightarrow NH_{3} cdot H_{2}O

$$

通过观察离子方程式中的反应物和生成物，可以判断离子的种类。

电导率测试

$NH_{4}^{+}$离子是弱碱阳离子，其水溶液呈弱碱性，电导率较低。可以通过测量溶液的电导率来间接判断$NH_{4}^{+}$离子的存在。

$Cu^{2+}$离子的水溶液电导率较高，因为铜离子是强电解质，完全电离。

综上所述，通过颜色反应、沉淀反应、离子方程式和电导率测试等方法，可以有效鉴别$Cu^{2+}$和$NH_{4}^{+}$离子。根据具体实验条件和需求，可以选择合适的方法进行鉴别。