根据提供的信息，老城区的私立高中包括以下几所：

复旦中学

西工区双语实验学校

第二外国语学校

洛阳凯通学校

北京力迈中美（国际）学校老城校区

海南中学澄迈分校

元阳老城内的北大未名元阳实验高中

建议您根据最新的教育政策和学校信息，进一步核实这些学校的具体地址、收费标准、课程设置等详细信息，以便做出更合适的选择。