判断和运算函数的奇偶性，可以遵循以下步骤：

定义域检查 ：

确认函数的定义域是否关于原点对称。如果定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

应用定义法 ：

对于定义域内的任意一个$x$，计算$f（-x）$。

如果$f（-x） = -f（x）$，则函数是奇函数。

如果$f（-x） = f（x）$，则函数是偶函数。

利用对称性 ：

如果函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数。

如果函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数。

函数运算 ：

两个偶函数相加 ：所得的和为偶函数。

两个奇函数相加 ：所得的和为奇函数。

一个偶函数与一个奇函数相加 ：所得的和为非奇函数与非偶函数。

两个偶函数相乘 ：所得的积为偶函数。

两个奇函数相乘 ：所得的积为偶函数。

一个偶函数与一个奇函数相乘 ：所得的积为奇函数。

奇函数×奇函数 ：结果为偶函数。

偶函数×偶函数 ：结果为偶函数。

奇函数×偶函数 ：结果为奇函数。

复合函数 ：

对于复合函数$f[g（x）]$，如果内层函数$g（x）$是偶函数，则复合函数也是偶函数；如果内层函数$g（x）$是奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数$f（x）$。

总结 ：

奇函数：$f（-x） = -f（x）$

偶函数：$f（-x） = f（x）$

通过以上步骤，可以判断任意函数的奇偶性，并进行相应的运算。