快速求解基础解系的方法如下：

确定自由未知量 ：

首先，确定系数矩阵 $A$ 的秩 $r$。自由未知量即为那些不在系数矩阵主元列中的变量。

对矩阵进行基础行变换 ：

对矩阵 $A$ 进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵（Reduced Row Echelon Form, RREF）。

转化为同解方程组 ：

将行最简形矩阵转化为同解方程组的形式。设 $A$ 是一个 $m times n$ 矩阵，经过初等行变换后，得到行最简形矩阵 $R$，则原方程组 $AX = b$ 可以转化为 $Rx = d$，其中 $d$ 是变换后的常数项向量。

代入数值求解 ：

将自由未知量分别取值，通常取为 $（n-r）$ 组数，例如 $（1,0,0,0）, （0,1,0,0）, ldots, （0,0,0,1）$，然后将这些值代入同解方程组中，求出每个自由未知量的具体数值。

验证基础解系 ：

验证所求得的解是否满足原方程组，并且确保这些解是线性无关的。可以通过将解向量组合起来，检查是否能表示方程组的所有解。

示例

假设有一个线性方程组 $AX = b$，其系数矩阵 $A$ 为：

$$

A = begin{pmatrix}

1 & 2 & 3

4 & 5 & 6

7 & 8 & 9

end{pmatrix}

$$

确定自由未知量 ：

对 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形矩阵。

转化为同解方程组 ：

得到行最简形矩阵后，将其转化为 $Rx = d$ 的形式。

代入数值求解 ：

设自由未知量为 $x_2, x_3$，分别取值 $（1,0,0）, （0,1,0）, （0,0,1）$，代入同解方程组求解 $x_1, x_2, x_3$。

验证基础解系 ：

验证所求得的解是否满足原方程组，并且确保这些解是线性无关的。

通过以上步骤，可以快速求解出基础解系。