等比数列的通项公式推导过程如下：

设定等比数列 ：

设等比数列的首项为 （ a_1 ），公比为 （ q ），项数为 （ n ）。

写出通项公式 ：

根据等比数列的定义，第 （ n ） 项 （ a_n ） 可以表示为：

[

a_n = a_1 times q^{（n-1）}

]

验证通项公式 ：

通过验证前几项来确认公式的正确性：

第1项 （ a_1 = a_1 ）

第2项 （ a_2 = a_1 times q ）

第3项 （ a_3 = a_1 times q^2 ）

第4项 （ a_4 = a_1 times q^3 ）

依此类推，第 （ n ） 项 （ a_n = a_1 times q^{（n-1）} ） 成立。

推导前n项和公式 ：

等比数列的前 （ n ） 项和 （ S_n ） 可以表示为：

[

S_n = a_1 + a_2 + a_3 + cdots + a_n

]

将每一项乘以公比 （ q ）：

[

q times S_n = a_1 times q + a_2 times q + a_3 times q + cdots + a_n times q = a_2 + a3 + cdots + a{n+1}

]

两式相减：

[

S_n - q times S_n = a1 - a{n+1}

]

整理得：

[

（1 - q） times S_n = a_1 - a_1 times q^n

]

当 （ q

eq 1 ） 时，两边同时除以 （ 1 - q ）：

[

S_n = frac{a_1 （1 - q^n）}{1 - q}

]

特殊情况 ：

当 （ q = 1 ） 时，前 （ n ） 项和 （ S_n ） 为：

[

S_n = n times a_1

]

综上所述，等比数列的通项公式和前 （ n ） 项和公式分别为：

[

a_n = a_1 times q^{（n-1）}

]

[

S_n = frac{a_1 （1 - q^n）}{1 - q} quad （q

eq 1）

]

[

S_n = n times a_1 quad （q = 1）

]