求齐次线性方程组的基础解系主要有以下几种方法：

通过初等行变换化为行最简形矩阵 ：

将系数矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形矩阵。

行最简形矩阵的非零行的第一个非零元所在列对应的变量为主元，其余列对应的变量为自由未知量。

令自由未知量分别取值，得到 $n-r$ 个线性无关的解向量，这些解向量构成基础解系。

利用自由未知量构造基础解系 ：

确定系数矩阵 $A$ 的秩 $r$，并设自由未知量为 $x{r+1}, x{r+2}, ldots, x_n$。

将自由未知量分别取 $n-r$ 组数，例如 $（1,0,ldots,0）, （0,1,ldots,0）, ldots, （0,0,ldots,1）$，代入原方程组得到 $n-r$ 个解向量。

这些解向量线性无关，构成基础解系。

通过高斯消元法求解 ：

将增广矩阵 $[A|b]$ 进行高斯消元，化为行最简形矩阵。

行最简形矩阵的非零行的第一个非零元所在列对应的变量为主元，其余列对应的变量为自由未知量。

令自由未知量分别取值，得到 $n-r$ 个线性无关的解向量，这些解向量构成基础解系。

示例

假设我们有一个齐次线性方程组 $Ax = 0$，其中 $A$ 是一个 $m times n$ 矩阵，且 $r（A） = r$。

化为行最简形矩阵 ：

对 $A$ 进行初等行变换，得到行最简形矩阵 $R$。

行最简形矩阵 $R$ 的非零行数为 $r$，因此有 $n-r$ 个自由未知量。

构造基础解系 ：

令自由未知量 $x{r+1}, x{r+2}, ldots, x_n$ 分别取 $n-r$ 组数，例如 $（1,0,ldots,0）, （0,1,ldots,0）, ldots, （0,0,ldots,1）$。

将这些自由未知量代入原方程组 $Ax = 0$，得到 $n-r$ 个解向量。

这些解向量线性无关，构成基础解系。

结论

通过初等行变换化为行最简形矩阵，并利用自由未知量构造基础解系，是求解齐次线性方程组基础解系的有效方法。这种方法不仅直观，而且计算过程相对简单。