证明一个数是无理数通常采用反证法，即假设该数是有理数，然后推导出矛盾，从而证明该数实际上是无理数。以下是一个常见的证明无理数的方法：

证明根号2是无理数的经典方法

假设根号2是有理数 ：

设根号2等于两个互质的整数之比，即 $sqrt{2} = frac{m}{n}$，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的整数，且 $m neq 0$，$n neq 0$。

平方两边 ：

$（sqrt{2}）^2 = 2$，所以 $left（frac{m}{n}right）^2 = 2$。

推导矛盾 ：

$frac{m^2}{n^2} = 2$，即 $m^2 = 2n^2$。

这意味着 $m^2$ 是偶数，因此 $m$ 必须是偶数（因为偶数的平方是偶数）。

设 $m = 2k$，其中 $k$ 是整数，则 $m^2 = （2k）^2 = 4k^2$。

代入 $m^2 = 2n^2$ 得到 $4k^2 = 2n^2$，即 $n^2 = 2k^2$。

这意味着 $n$ 也是偶数（因为偶数的平方是偶数）。

得出矛盾 ：

$m$ 和 $n$ 都是偶数，这与 $m$ 和 $n$ 互质的假设矛盾。

因此，根号2不能表示为两个互质的整数之比，所以根号2是无理数。

证明tan1°是无理数的方法

假设tan1°是有理数 ：

设 $tan 1^circ = frac{p}{q}$，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的整数，且 $q neq 0$。

利用正切的两角和公式 ：

$tan 2^circ = tan（1^circ + 1^circ） = frac{tan 1^circ + tan 1^circ}{1 - tan 1^circ tan 1^circ} = frac{2tan 1^circ}{1 - tan^2 1^circ}$。

推导矛盾 ：

如果 $tan 1^circ$ 是有理数，那么 $tan 2^circ$ 也应该是有理数。

但是，通过计算可以发现 $tan 2^circ$ 是无理数（具体计算过程略）。

得出矛盾 ：

因此，假设 $tan 1^circ$ 是有理数导致了矛盾，所以 $tan 1^circ$ 必须是无理数。

总结

通过上述两种方法，我们可以看到无理数的证明通常依赖于反证法，即假设一个数是有理数，然后通过推导出矛盾来证明该数实际上是无理数。这种方法在数学中非常常见，适用于各种无理数的证明。