新蔡县关津乡共有21个中小学学校，其中包括17所公办学校和3所民办学校。以下是具体的学校名单：

公办学校 ：

新蔡县关津乡沈庄小学

新蔡县关津乡张庄小学

新蔡县关津乡高湾小学

新蔡县关津乡谢湾小学

新蔡县关津乡中心小学

新蔡县关津乡初级中学

新蔡县关津乡枣林小学

新蔡县关津乡刘菜园小学

新蔡县关津乡王楼小学

新蔡县关津乡翁庄小学

新蔡县关津乡牛湾小学

新蔡县关津乡王新庄小学

新蔡县关津乡许埠小学

新蔡县关津乡张大庄小学

新蔡县关津乡黄夹道小学

新蔡县关津乡李洼小学

新蔡县关津乡万庄小学

新蔡县关津乡徐庙小学

民办学校 ：

新蔡县关津乡育林学校

新蔡县关津乡聪慧少年学校

新蔡县关津乡求知学校

这些学校涵盖了小学和初中阶段的教育，为当地居民提供了全面的基础教育服务。