截至2024年，山西的民办大学数量至少包括以下几所：

1. 山西应用科技学院

2. 山西大学商务学院

3. 太原理工大学现代科技学院

4. 山西农业大学信息学院

5. 山西师范大学现代文理学院

6. 山西工商学院

7. 山西晋中理工学院

8. 晋中信息学院

9. 运城职业技术大学

10. 山西医科大学晋祠学院

11. 山西财经大学华商学院

12. 山西同文外语职业学院

13. 山西华澳商贸职业学院

14. 山西老区职业技术学院

15. 山西信息职业技术学院

16. 山西同文职业技术学院

因此，山西至少有15所民办大学。建议进一步核实相关数据以获得最准确的数字。