兰州新区共建的大学数量至少包括以下几所：

1. 兰州工业学院

2. 兰州理工大学技术工程学院

3. 甘肃政法大学

4. 甘肃交通职业技术学院

5. 甘肃商贸职业学院

6. 甘肃能源化工职业学院

7. 兰州财贸职业学院

8. 兰州外语职业学院

9. 甘肃东方工业学校

10. 甘肃卫生职业学院

11. 兰州职业技术学院

12. 兰州现代职业技术学院

13. 甘肃中医学院新校区

14. 兰州医学高等专科学校

此外，还有马来西亚合作筹备的大学一所。

综上所述，兰州新区共建的大学数量至少为 14所。