全运会，即全国运动会，是中国规模最大、水平最高的综合性运动会。全运会的参赛单位包括 31个省（区、市）、新疆生产建设兵团、火车头体协、煤矿体协、前卫体协、香港和澳门特别行政区代表团，以及北京体育大学、天津体育学院、俱乐部等参赛单位。

此外，还有一些大学承担了全运会的比赛场馆或相关服务工作，例如：

西南交通大学在第十四届全国运动会中获得了多项奖牌。

沈阳农业大学在第十二届全运会期间有多个场馆用于比赛和训练。

西安电子科技大学承担了排球（男子21岁以下）比赛。

西北工业大学、西北大学、西安交通大学、长安大学等高校也参与了十四运会的相关工作。

综上所述，全运会涉及的大学数量至少包括上述提到的几所，但具体数量无法从提供的信息中准确得出。如果需要更详细的数据，建议查阅最新的全运会官方公告或相关统计资料。